Algebraic General Topology. Vol 1: Paperback / E-book || Axiomatic Theory of Formulas: Paperback / E-book

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Algebraic General Topology
Volume 1
Victor Porton
Web: http://www.mathematics21.org
June 6, 2015
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Abstract
In this work I introduce and study in details the concepts of funcoids which generalize proximity
spaces and reloids which generalize uniform spaces, and generalizations thereof. The concept of
funcoid is generalized concept of proximity, the concept of reloid is cleared from superfluous details
(generalized) concept of uniformity. Also funcoids and reloids are generalizations of binary relations
whose domains and ranges are filters (instead of sets).
Also funcoids and reloids can be considered as a generalization of (oriented) graphs, this pro-
vides us with a common generalization of calculus and discrete mathematics.
The concept of continuity is defined by an algebraic formula (instead of old messy epsilon-delta
notation) for arbitrary morphisms (including funcoids and reloids) of a partially ordered category.
In one formula continuity, proximity continuity, and uniform continuity are generalized.
Also I define connectedness for funcoids and reloids.
Then I consider generalizations of funcoids: pointfree funcoids and generalization of pointfree
funcoids: multifuncoids. Also I define several kinds of products of funcoids and other morphisms.
Before going to topology, this book studies properties of co-brouwerian lattices and filters.
Keywords: algebraic general topology, quasi-uniform spaces, generalizations of proximity spaces,
generalizations of nearness spaces, generalizations of uniform spaces
A.M.S. subject classification: 54J05, 54A05, 54D99, 54E05, 54E15, 54E17, 54E99
3
Table of contents
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.1 Draft status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.2 Intended audience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.3 Reading Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.4 Our topic and rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.5 Earlier works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.6 Kinds of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.7 Structure of this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.8 Basic notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.8.1 Grothendieck universes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.8.2 Misc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
1.9 Unusual notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2 Common knowledge, part 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1 Order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.1 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.1.1 Intersecting and joining elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.2 Linear order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.3 Meets and joins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.4 Semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.5 Lattices and complete lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.6 Distributivity of lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.7 Difference and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.8 Boolean lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.9 Center of a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.10 Atoms of posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.11 Kuratowski's lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.12 Homomorphisms of posets and lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.13 Galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.14 Co-Brouwerian lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.1.15 Dual pseudocomplement on co-Heyting lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.2 Intro to category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
2.3 Intro to group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3 More on order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.1 Straight maps and separation subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.1.1 Straight maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.1.2 Separation subsets and full stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.1.3 Atomically Separable Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.2 Free Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.2.1 Starrish posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.3 Quasidifference and Quasicomplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.4 Several equal ways to express pseudodifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.5 Partially ordered categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
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3.5.2 Dagger categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.5.2.1 Some special classes of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.6 Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.7 A proposition about binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8 Infinite associativity and ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.2 Used notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.2.1 Currying and uncurrying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
The customary definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
Currying and uncurrying with a dependent variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.2.2 Functions with ordinal numbers of arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.3 On sums of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4 Ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.2 Concatenation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.3 Finite example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.4 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.5 Definition with composition for every multiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.6 Definition with shifting arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
3.8.4.7 Associativity of ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
Infinite associativity implies associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
Concatenation is associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4 Filters and filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.1 Introduction to filters and filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.1.1 Filters on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.1.2 Intro to filters on a meet-semilattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.1.3 Intro to filters on a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.1.4 Intro to filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2 Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.1 Core Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.2 Filtrators with Separable Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.3 Intersection and Joining with an Element of the Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.4 Characterization of Finitely Meet-Closed Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.5 Stars of Elements of Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.6 Atomic Elements of a Filtrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.7 Prime Filtrator Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.8 Some Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.9 Complements and Core Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.10 Core Part and Atomic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.11 Distributivity of Core Part over Lattice Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.12 Co-Separability of Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.13 Filtrators over Boolean Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.2.13.1 Distributivity for an Element of Boolean Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3 Filters on a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.1 Filters on posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.2 Filters on meet-semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.3 Order of filters. Principal filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.3.1 Minimal and maximal filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.4 Primary filtrator is filtered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.5 Alignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.6 Co-separability of Core for Primary Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.7 Core Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.8 Intersecting and Joining with an Element of the Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.9 Formulas for Meets and Joins of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.10 Separability of Core for Primary Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6 Table of contents
4.3.11 Distributivity of the Lattice of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.12 Filters over Boolean Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.12.1 Distributivity for an Element of Boolean Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.13 Generalized Filter Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.14 Stars for filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.14.1 Stars of Filters on Boolean Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.15 More about the Lattice of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.16 Atomic Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.17 Some Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.18 Filters and a Special Sublattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.19 Core Part and Atomic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.20 Complements and Core Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.21 Complementive Filters and Factoring by a Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.3.22 Pseudodifference of filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.4 Filters on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.4.1 Fréchet Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.4.2 Number of Filters on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.5 Some Counter-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.5.1 Weak and Strong Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.6 Open problems about filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.6.1 Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.6.2 Quasidifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
4.6.3 Non-Formal Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5 Common knowledge, part 2 (topology) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.1.1 Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.1.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.2 Pretopological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.2.1 Pretopology induced by a metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.3.1 Relationships between pretopologies and topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.3.1.1 Topological space induced by preclosure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.3.1.2 Preclosure space induced by topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.3.1.3 Topology induced by a metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
5.4 Proximity spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6 Funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.1 Informal introduction into funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.2 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.2.1 Composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.3 Funcoid as continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.4 Lattices of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.5 More on composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.6 Domain and range of a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.7 Categories of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.8 Specifying funcoids by functions or relations on atomic filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.9 Direct product of filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.10 Atomic funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.11 Complete funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.12 Funcoids corresponding to pretopologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.13 Completion of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.13.1 More on completion of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.13.1.1 Open maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.14 Monovalued and injective funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
6.15 T
0
-, T
1
-, T
2
-, and T
3
-separable funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
Table of contents 7
6.16 Filters closed regarding a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7 Reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.2 Composition of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.3 Direct product of filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.4 Restricting reloid to a filter. Domain and image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.5 Categories of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.6 Monovalued and injective reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
7.7 Complete reloids and completion of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8 Relationships between funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8.1 Funcoid induced by a reloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8.2 Reloids induced by a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8.3 Galois connections between funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8.4 Funcoidal reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9 On distributivity of composition with a principal reloid . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9.1 Decomposition of composition of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9.2 Decomposition of composition of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9.3 Lemmas for the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9.4 Proof of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
9.5 Embedding reloids into funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10 Continuous morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.1 Traditional definitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.1.1 Pretopology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.1.2 Proximity spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.1.3 Uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.2 Our three definitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
10.3 Continuity of a restricted morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11 Connectedness regarding funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11.1 Some lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11.2 Endomorphism series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11.3 Connectedness regarding binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11.4 Connectedness regarding funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
11.5 Algebraic properties of S and S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12 Total boundness of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12.1 Thick binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12.2 Totally bounded endoreloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12.3 Special case of uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12.4 Relationships with other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
12.5 Additional predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13 Orderings of filters in terms of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.1 Equivalent filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.2 Ordering of filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.2.1 Existence of no more than one monovalued injective reloid for a given pair of ultrafilters
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.2.1.1 The lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.2.1.2 The main theorem and its consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.3 Rudin-Keisler equivalence and Rudin-Keisler order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
8 Table of contents
13.4 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
13.4.1 Metamonovalued reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
14 Counter-examples about funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
14.1 Second product. Oblique product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15 Pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.2 Composition of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.3 Pointfree funcoid as continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.4 The order of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.5 Domain and range of a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.6 Category of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.7 Specifying funcoids by functions or relations on atomic filters . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.8 More on composition of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.9 Direct product of elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.10 Atomic pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.11 Complete pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.12 Completion and co-completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.13 Monovalued and injective pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.14 Elements closed regarding a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
15.15 Connectedness regarding a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16 Convergence of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16.2 Relationships between convergence and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16.3 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16.4 Generalized limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
16.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17 Multifuncoids and staroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.1 Product of two funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.1.1 Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.1.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.2 Function spaces of posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.3 Definition of staroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.4 Upgrading and downgrading a set regarding a filtrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.4.1 Upgrading and downgrading staroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.5 Principal staroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.6 Multifuncoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.7 Join of multifuncoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.8 Infinite product of poset elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.9 On products of staroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.10 Star categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.10.1 Abrupt of quasi-invertible categories with star-morphisms . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11 Product of an arbitrary number of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.1 Mapping a morphism into a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.2 General cross-composition product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.3 Star composition of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.4 Star composition of Rel-morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.5 Cross-composition product of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.11.6 Simple product of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.12 Multireloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.12.1 Starred reloidal product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
17.13 Subatomic product of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?
Table of contents 9